傅立葉級數

連續週期訊號

假設有一週期訊號 $x(t)$,週期為$T$
$x(t)=x(t+T)$

假設此訊號能由$e^{jk \omega_0 t}$合成，$\omega_0=2\pi/T$

$\displaystyle x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk \omega_0 t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk (2\pi/T) t}$

上式就是$x(t)$的傅立葉級數表示法，只要求出$a_k$，就能由不同頻率振幅的弦波來合成，以下為求$a_k$的方法

先同乘 $e^{-jn\omega_0 t}$
$\displaystyle x(t)e^{-jn\omega_0 t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk \omega_0 t}e^{-jn\omega_0 t}$

在 0~T 的區間積分
$\displaystyle \int_0^T x(t)e^{-jn\omega_0 t} \mathrm{d}t = \int_0^T \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk \omega_0 t}e^{-jn\omega_0 t} \mathrm{d}t$

交換積分與sum的順序
$\displaystyle \int_0^T x(t)e^{-jn\omega_0 t} \mathrm{d}t = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k \begin{bmatrix} \int_0^T e^{j(k-n) \omega_0 t} \mathrm{d}t\end{bmatrix}$


計算右式積分部分 (Euler's formula $e^{jx} = \cos x + j\sin x$)
$\displaystyle \int_0^T e^{j(k-n) \omega_0 t} \mathrm{d}t = \int_0^T \cos((k-n) \omega_0 t) \mathrm{d}t + j\int_0^T \sin((k-n) \omega_0 t) \mathrm{d}t$

$k \neq n$ 時，積分範圍為整數倍週期的弦波，結果為0，只有$k = n$ 時有值
$\displaystyle \int_0^T e^{ j(k-n) \omega_0 t} \mathrm{d}t = \left\{ \begin{matrix} T,k=n \\ 0, k \neq n \end{matrix}\right.$

將積分結果帶回原式
$\displaystyle \int_0^T x(t)e^{-jn\omega_0 t} \mathrm{d}t = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k \begin{bmatrix} \int_0^T e^{j(k-n) \omega_0 t} \mathrm{d}t\end{bmatrix}=T a_n$

即可求得$a_n$
$\displaystyle a_n= \frac {1}{T} \int_0^T x(t)e^{-jn\omega_0 t} \mathrm{d}t$

將積分範圍改成任意一個長度為 T 的區間能得到相同的結果
$\displaystyle \int_T e^{ j(k-n) \omega_0 t} \mathrm{d}t = \left\{ \begin{matrix} T,k=n \\ 0, k \neq n \end{matrix}\right.$

$\displaystyle a_n= \frac {1}{T} \int_T x(t)e^{-jn\omega_0 t} \mathrm{d}t$

連續週期訊號的傅立葉級數

$\displaystyle \left\{ \begin{array} {1,1} x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk \omega_0 t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk (2\pi/T) t} \\ a_k= \frac {1}{T} \int_T x(t)e^{-jk\omega_0 t} \mathrm{d}t = \frac {1}{T} \int_T x(t)e^{-jk(2\pi /T)t} \mathrm{d}t \end{array} \right.$

範例: 週期為2，duty cycle = 50% 的方波

$x(t) = \left\{ \begin{array} {1,1} 1, &\; |t|<0.5 \\ 0, &\; 0.5<|t|<1 \end{array}\right.$

$k=0$,
$\displaystyle a_0=\frac{1}{2} \int_{-0.5}^{0.5} \mathrm{d}t = 0.5$

$k \neq 0$,
$\displaystyle a_k=\frac{1}{2} \int_{-0.5}^{0.5} e^{-jk\omega_0 t} \mathrm{d}t =\left. -\frac {1} {jk\omega_0 2} e^{-jk\omega_0 t} \right|_{-0.5}^{0.5} = \frac {1}{k\omega_0} \frac { e^{j0.5k\omega_0} - e^{-j0.5k\omega_0} }{2j} =\frac {\sin(0.5k\omega_0)} {k\omega_0} =\frac {\sin(0.5k\pi)} {k\pi} \; ( \omega_0 = 2 \pi / T = 2\pi / 2 = \pi )$

下圖為k=-7 ~ 7 的圖

求出傅立葉係數 a_k 後，驗證是否能合成出方波
無法計算至無窮項，求近似值$x_N(t)$
$\displaystyle x_N(t)=\sum_{k=-N}^{k=N} a_k e^{jk\pi t}$
下圖為不同N值得合成結果

離散週期訊號

...
$x[n]=x[n+N]$

$\displaystyle x[n] = \sum_{k= < N >} a_k e^{j k \omega_0 n} = \sum_{k= < N >} a_k e^{j k (2 \pi /N) n}$

$\displaystyle \sum_{k= < N >} a_k e^{j k (2 \pi /N) n} = \left \{ \begin {array} {1,1} N, \quad k=0,\pm N,\pm 2N,\dots\\0, \quad \text{otherwise}\end{array}\right.$

$\displaystyle \sum_{n= < N >} x[n] e^{-j r (2 \pi /N) n}= \sum_{n= < N >} \sum_{k= < N >} a_k e^{j (k-r) (2 \pi /N) n}$

$\displaystyle \sum_{n= < N >} x[n] e^{-j r (2 \pi /N) n}= \sum_{k= < N >} a_k\sum_{n= < N >} e^{j (k-r) (2 \pi /N) n}$

$\displaystyle a_r=\frac{1}{N}\sum_{n= < N >} x[n] e^{-j r (2 \pi /N) n}$

$\displaystyle \left\{ \begin{array} {1,1} x[n] = \sum_{k= < N >} a_k e^{j k \omega_0 n} = \sum_{k= < N >} a_k e^{j k (2 \pi /N) n} \\ a_k=\frac{1}{N}\sum_{n= < N >} x[n] e^{-j k \omega_0 n} = \frac{1}{N}\sum_{n= < N >} x[n] e^{-j k (2 \pi /N) n} \end{array} \right.$

M=1

M=2

M=3

M=4